高校の同級生だった二人の友人が、お互いの仕事について話していたという話があります。そのうちの一人は統計学者になり、人口の動向を研究していました。彼はその論文のコピーを元同級生に見せました。その論文はいつものようにガウス分布から始まり、統計学者は元同級生に、実人口、平均人口などの記号の意味を説明しました。同級生は少々疑わしくなり、統計学者が冗談を言っているのかどうかよく分かりませんでした。「どうしてそれがわかるの？」と彼は尋ねました。「で、この記号は何？」「ああ」と統計学者は言いました。「これは \(\pi\) 」「それは何？」「円の円周と直径の比だよ」「それは冗談が行き過ぎたね」と同級生は言いました。「まさか人口と円周は関係ないでしょう」。
当然のことながら、私たちはクラスメートのアプローチの単純さに微笑みたくなる。しかしながら、この話を聞いたとき、私は不気味な気持ちになったことを認めざるを得なかった。というのも、クラスメートの反応は明らかに純粋な常識を示しただけだったからだ。それから数日後、ある人が私のところにやって来て、私たちが理論を検証するためのデータを選ぶ際に、むしろ狭い範囲の選択をしているという事実に当惑していると述べたとき1、私はさらに混乱した。「もし私たちが現在無視している現象に注目し、逆に現在注目している現象の一部を無視するような理論を構築した場合、その理論が現在の理論とはほとんど共通点を持たないにもかかわらず、現在の理論と同じくらい多くの現象を説明できる可能性がないとは、どのようにして分かるのだろうか。我々は、そのような理論が存在しないという明確な証拠を持っていないことを認めざるを得ない。」
1 引用する発言は、F. ヴェルナーがプリンストン大学の学生時代に述べたものである。
前述の二つの物語は、本講演の主題である二つの主要な点を例証している。第一に、数学的概念は全く予期せぬ関係に現れるということである。しかも、それらの関係において、数学的概念はしばしば、現象を予想外に緻密かつ正確に記述することを可能にする。第二に、まさにこの状況ゆえに、そしてその有用性の理由を理解していないゆえに、数学的概念を用いて定式化された理論が唯一適切なものかどうかを知ることはできない。私たちは、鍵の束を渡され、立て続けにいくつかのドアを開けなければならないときに、常に一回目か二回目の試みで正しい鍵を当てた男の立場に似ている。彼は、鍵とドアの対応関係の唯一性について懐疑的になったのである。
これらの疑問について述べられることのほとんどは目新しいものではないだろう。おそらくほとんどの科学者が何らかの形で考えたことがあるだろう。私の主な目的は、それをいくつかの側面から明らかにすることである。第一に、自然科学における数学の莫大な有用性は神秘に近いものであり、それには合理的な説明がないということである。第二に、数学的概念のこの不思議な有用性こそが、我々の物理理論の独自性という疑問を提起するのである。数学が物理学において不当に重要な役割を果たしているという第一の点を明らかにするためには、「数学とは何か？」、次に「物理学とは何か？」、どのように数学が物理理論に入り込むのか、そして最後に、物理学における数学の役割の成功がなぜそれほど不可解に見えるのかについて、簡単に述べることが有益であろう。第二の点、すなわち物理学の理論の独自性については、ほとんど言及しない。この疑問に適切に答えるには、今日まで着手されていない精巧な実験的および理論的研究が必要となるであろう。
数学とは何か？かつて誰かが、哲学とはまさにこの目的のために発明された用語の誤用であると言った。2 同様に、数学とは、まさにこの目的のために発明された概念と規則を用いた巧みな演算の科学であると言えるだろう。最も重要なのは概念の発明である。もし数学が、公理に既に現れている概念を用いて定式化されなければならないとしたら、興味深い定理はすぐに尽きてしまうだろう。さらに、初等数学、特に初等幾何学の概念が、現実世界から直接示唆される実体を記述するために定式化されたことは疑いようのない事実であるが、より高度な概念、特に物理学において重要な役割を果たす概念については、同じことが当てはまらないようだ。したがって、数のペアの演算規則は、明らかに「数のペア」を参照することなく最初に学んだ分数の演算と同じ結果をもたらすように設計されている。数列、すなわち無理数の演算規則は、依然として、すでに知られている量の演算規則を再現するように定められた規則の範疇に属する。複素数、代数、線型作用素、集合といった、より高度な数学概念のほとんどは（このリストはほぼ無限に続く可能性があるが）、数学者がその創意工夫と形式美の感覚を発揮するのに適した主題となるように考案された。実際、これらの概念を、興味深く独創的な考察を適用できるという認識をもって定義することこそ、それを定義した数学者の創意工夫の最初の証明である。数学的概念の形成に注ぎ込まれた思考の深さは、後にこれらの概念をいかに巧みに用いるかによって正当化される。偉大な数学者は、許容される推論の領域を徹底的に、ほとんど容赦なく利用し、許容されない領域を回避するのである。彼の無謀さが彼を矛盾の泥沼に陥らせなかったこと自体が奇跡である。確かに、ダーウィンの自然淘汰の過程によって、我々の推論能力が今のような完成度に達したとは信じ難い。しかし、これは我々の現在の主題ではない。後ほど改めて触れなければならない重要な点は、数学者は公理に含まれる概念以外の概念を定義せずには、ほんの一握りの興味深い定理しか定式化できなかったということ、そして公理に含まれる概念以外の概念は、操作としてだけでなく、その結果の汎用性と単純さにおいても我々の美的感覚に訴える独創的な論理操作を可能にするために定義されているということである。3
2
この記述はW.ドゥビスラフ著『数学哲学』（Die Philosophie der Mathematik in dev Gegenwavi. Junker und Dunnhaupt Verlag, Berlin, 1932, p. 1）より引用
3
M.ポラニーは著書『Personal Ktzowledge』（University of Chicago Press, 1958）の中で、「こうした困難はすべて、数学は、その最も明白な特徴、すなわち、数学が興味深いものであるということを認めずには定義できないという点を我々が理解しようとしないことから生じている」（188ページ）と述べている。
複素数は、前述のことを特に顕著に示している。確かに、我々の経験上、これらの量の導入を示唆するものは何もない。実際、もし数学者が複素数への関心を正当化するよう求められれば、彼は憤慨した様子で、方程式、冪級数、そして解析関数一般の理論における多くの美しい定理を指摘するだろう。これらの定理は複素数の導入に由来する。数学者は、自らの天才が成し遂げたこれらの最も美しい成果への関心を放棄するつもりはないのだ。4
4 読者はこの点に関して、ヒルベルトが「数学を解体し、醜くしようとする」直観主義について述べたやや辛辣な意見（Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, Vol. 157, 1922年、またはGesammelte Werke, Springer, Berlin, 1935年、188ページ）に興味を持つかもしれない。
物理学とは何か？物理学者は、無生物の自然法則の発見に興味を持っています。このことを理解するには、「自然法則」という概念を分析する必要があります。
私たちの周りの世界は不可解なほど複雑で、その最も明白な事実は、私たちが未来を予測できないということです。このジョークは、未来が不確実であると考えるのは楽観主義者だけであると述べていますが、この場合、楽観主義者は正しいです。未来は予測できません。シュレーディンガーが指摘したように、世界の不可解なほど複雑であるにもかかわらず、出来事にある規則性が発見されたのは奇跡です[l]。ガリレオによって発見されたそのような規則性の一つは、同じ高さから同時に落とされた2つの岩が、同時に地面に着くというものです。自然法則はこのような規則性に関係しています。ガリレオの規則性は、多くの規則性の原型です。それが驚くべき規則性であるのには、次の3つの理由があります。
驚くべき第一の理由は、それがピサやガリレオの時代だけでなく、地球上のあらゆる場所で真実であり、常に真実であり、これからも常に真実であり続けるということです。この規則性という性質は、広く認められた不変性であり、私が以前指摘したように [2]、ガリレオの観察の前述の一般化に示唆されているような不変性原理がなければ、物理学は不可能でしょう。第二の驚くべき特徴は、ここで論じている規則性が、それに影響を与え得る非常に多くの条件から独立しているということです。雨が降ろうが降らなかろうが、実験が室内で行われようが斜塔から行われようが、石を落とす人が男性であろうが女性であろうが、規則性は有効です。たとえ二つの石が二人の異なる人物によって同時に同じ高さから落とされたとしても、規則性は有効です。もちろん、ガリレオの規則性の有効性という観点からは、これら全てが重要ではない無数の条件が他にも存在します。観測される現象に影響を与え得る多くの状況の無関係性は、不変性とも呼ばれる [2]。しかし、この不変性は一般原理として定式化できないため、前述のものとは異なる性質を持つ。現象に影響を与える条件と影響を与えない条件の探究は、ある分野の初期の実験的探究の一部である。比較的容易に実現・再現可能な、比較的狭い条件の組み合わせに依存する現象を示すのは、実験者の技量と創意工夫である。5 この場合、ガリレオが観測を比較的重い物体に限定したことが、この点で最も重要なステップであった。繰り返すが、扱いやすいほど小さな条件の組み合わせ以外すべてに依存しない現象が存在しないとしたら、物理学は不可能であろうというのは真実である。
5 この点については、I.Deutsch のグラフィック エッセイ「Daedalus」(第 87 巻、1958 年、86 ページ) を参照。A. Shimony は、C.S. Peirce の Essays zn the Phzlosophy of Sczence (The Liberal Arts Press、ニューヨーク、1957 年、237 ページ) にある同様の一節に私の注意を向けさせてくれました。
前述の2点は、哲学者の観点からは非常に重要な点ではあるものの、ガイレオを最も驚かせた点ではなく、また特定の自然法則を含んでいるわけでもありません。この自然法則は、重い物体が所定の高さから落下するのにかかる時間は、落下する物体の大きさ、材質、形状とは無関係であるという主張に内包されています。ニュートンの第二「法則」の枠組みに当てはめると、これは落下する物体に作用する重力はその質量に比例するが、落下する物体の大きさ、材質、形状とは無関係であるという主張に相当します。
以上の議論は、まず第一に、「自然法則」が存在すること自体が全く自然なことではなく、ましてや人間がそれを発見できるなどということはあり得ないことを想起させることを意図している。6 筆者は以前、「自然法則」が幾重にも重なり合うこと、すなわち各層が前の層よりもより一般的で包括的な法則を含み、その発見は、それ以前に認識されていた層よりも宇宙の構造へのより深い洞察を構成することに注目する機会があった [3]。しかしながら、本文脈において最も重要な点は、これらすべての自然法則は、その最も遠い帰結においてさえ、無生物界に関する我々の知識のほんの一部しか含まないという点である。すべての自然法則は、現在の知識に基づいて将来の出来事を予測することを可能にする条件文である。ただし、現在の世界の状態のいくつかの側面、実際には現在の世界の状態を決定づける要因の圧倒的多数は、予測の観点からは無関係である。この無関係性とは、ガリレオの定理の議論における2番目の点の意味で意味されます。7
6
シュレーディンガーは、著書『自由とは何か』（ケンブリッジ大学出版、1915年）の中で、この第二の奇跡は人間の理解を超えているかもしれないと述べています（31ページ）。
7
筆者は、本文中に示されているガリレオの定理が、自由落下体の法則に関するガリレオの観察内容を網羅しているわけではないことを述べる必要はないと確信しています。
我々が住み、ガリレオの実験が行われた地球の存在、太陽や我々を取り巻くすべてのものの存在といった、世界の現状に関しては、自然法則は全く沈黙している。これと一致して、まず第一に、自然法則を用いて将来の出来事を予測できるのは、例外的な状況下、すなわち世界の現状の関連する決定要因がすべてわかっている場合のみである。またこれと一致して、物理学者がその動作を予見できる機械の構築は、物理学者の最も華々しい業績を構成する。これらの機械において、物理学者は関連する座標がすべてわかっている状況を作り出し、機械の挙動を予測できるようにする。レーダーや原子炉はそのような機械の例である。
これまでの議論の主目的は、自然法則はすべて条件付きの命題であり、世界に関する我々の知識のごく一部にしか関係していないことを指摘することである。したがって、物理理論の最もよく知られた原型である古典力学は、あらゆる物体の位置などの知識に基づいて、それらの位置座標の2階微分を与える。古典力学は、これらの物体の存在、現在の位置、速度に関する情報は一切与えない。正確さのために付け加えておくと、約30年前に、条件付きの命題ですら完全に正確ではないことが分かっている。つまり、条件付きの命題は確率法則であり、それによって無生物世界の将来の特性について、現状の知識に基づいて賢明な賭けをすることしかできないということである。条件付きの命題は、世界の現状を条件とする定性的命題、ましてや定性的命題を述べることさえ許さない。 「自然法則」の確率的性質は機械の場合にも現れ、少なくとも原子炉の場合、非常に低い出力で運転すれば検証可能である。しかし、自然法則の確率的性質から生じる、その適用範囲の更なる制限8は、以降の議論においては何ら役割を果たさない。
8 例えばE.シュレーディンガーの文献[l]を参照。
物理理論における数学の役割。数学と物理学の本質について改めて認識することで、物理理論における数学の役割をより適切に再検討できるようになるはずです。
当然のことながら、私たちは日常の物理学において、自然法則の結果を評価したり、たまたま支配的であったり、たまたま私たちの関心の対象となったりする特定の条件に条件文を適用したりするために数学を用いています。これを可能にするためには、自然法則がすでに数学的な言語で定式化されていなければなりません。しかしながら、既に確立された理論の帰結を評価する役割は、物理学における数学の最も重要な役割ではありません。数学、あるいはむしろ応用数学は、この機能において状況を支配するほどのものではなく、単なる道具として機能しているに過ぎません。しかしながら、数学は物理学においてより主権的な役割も果たしています。これは、応用数学の役割について議論した際になされた、自然法則が応用数学の利用対象となるためには、すでに数学の言語で定式化されていなければならないという発言に既に暗示されています。自然法則が数学の言語で書かれているという発言は、300年前に適切になされました。9 そして今、それはかつてないほど真実となっています。物理法則の定式化において数学的概念が持つ重要性を示すために、例えば、偉大な数学者フォン・ノイマンによって明示的に、あるいは偉大な物理学者ディラックによって暗黙的に定式化された量子力学の公理を思い起こしてみよう[4, 51]。量子力学には、状態と観測量という2つの基本概念がある。状態はヒルベルト空間のベクトルであり、観測量はこれらのベクトル上の自己随伴作用素である。観測値の取り得る値は作用素の特性値であるが、線形作用素の理論で展開される数学的概念を列挙することになりかねないので、ここで止めておこう。
9 この詩はグニリレオの作とされている。
もちろん、物理学は自然法則を定式化するために特定の数学概念を選択し、物理学で用いられるのは全数学概念のほんの一部に過ぎないことは事実です。また、選択された概念は数学用語のリストから恣意的に選ばれたのではなく、多くの場合、あるいはほとんどの場合、物理学者によって独立して発展させられ、その時点で数学者によって以前に考案されていたことが認識されたことも事実です。しかしながら、よく言われるように、数学は可能な限り単純な概念を用いており、それらはいかなる形式主義においても必然的に出現するから、そうならざるを得なかったというのは真実ではありません。前述のように、数学の概念は概念の単純さゆえに選択されるのではなく（数列でさえ、最も単純な概念とは程遠い）、巧みな操作や印象的で明快な議論への容易さゆえに選択されるのです。量子力学のヒルベルト空間は、エルミートスカラー積を持つ複素ヒルベルト空間であることを忘れてはなりません。確かに、何の心配もしていない人にとって、複素数は自然でも単純でもないものであり、物理的な観察から示唆されることもありません。さらに、この場合の複素数の使用は、応用数学の計算上のトリックではなく、量子力学の法則を定式化する上でほぼ必須の要素となっています。そして今、量子論の定式化において、数だけでなく、いわゆる解析関数が決定的な役割を果たす運命にあることが明らかになりつつあります。ここで私が言及しているのは、急速に発展している分散関係の理論です。
ここで我々が直面しているのは奇跡であり、その驚くべき性質は、人間の心が矛盾に陥ることなく千もの議論を繋ぎ合わせることができるという奇跡、あるいは自然法則の存在とそれを予見する人間の心の能力という二つの奇跡によく似ているという印象を拭い去ることは難しい。物理学に数学的概念が出現する理由を最もよく説明できるのは、私が知る限り、我々が受け入れることのできる物理理論は美しい理論だけであるというアインシュタインの言である。非常に機知に富んだ思考を必要とする数学の概念は、美しさという特質を備えていると言えるだろう。しかしながら、アインシュタインのこの観察は、せいぜい我々が信じることができる理論の特性を説明するものであり、理論の本質的な正確さとは無関係である。したがって、我々は後者の問題に目を向けることにする。
物理理論の成功は本当に驚くべきことなのだろうか？物理学者が自然法則を定式化するために数学を用いる理由の一つとして、物理学者がいくぶん無責任な人間であるという点が挙げられる。そのため、二つの量の間に数学でよく知られている関係に似た関係を見出すと、物理学者は他に同様の関係を知らないというだけの理由で、その関係は数学で議論されている関係であるとすぐに結論づけてしまう。本稿の目的は、物理学者がいくぶん無責任な人間だという非難を反駁することではない。もしかしたらそうかもしれない。しかし、物理学者のしばしば粗雑な経験を数学的に定式化することで、驚くほど多くのケースにおいて、多くの現象を驚くほど正確に記述できることを指摘しておくことは重要である。これは、数学言語が私たちが話せる唯一の言語であるだけでなく、それ以上の利点を持っていることを示している。数学言語は、まさに真の意味で正しい言語であるということを示している。いくつかの例を考えてみよう。
最初の例は、よく引用される惑星の運動です。落下物体の法則は、主にイタリアで行われた実験の結果、かなり確立されました。これらの実験は、空気抵抗の影響や、当時は短い時間間隔の測定が不可能だったこともあり、今日私たちが理解している意味ではそれほど正確ではありませんでした。それでも、イタリアの自然科学者たちが研究の結果、物体が大気中を移動する仕組みに精通したことは驚くべきことではありません。その後、自由落下物体の法則を月の運動と関連付け、投げられた岩石が地球上で描く放物線と、月が空を飛ぶ円が、楕円という同じ数学的対象物の特殊な例であることに気づいたのはニュートンでした。そして、当時としては非常に近似的な、たった一つの数値的一致に基づいて、万有引力の法則を仮定しました。哲学的には、ニュートンが定式化した万有引力の法則は、当時も彼自身も受け入れがたいものでした。経験的には、それは非常に乏しい観察に基づいていました。それを定式化した数学的言語には二階微分の概念が含まれており、曲線に接触円を描こうとしたことがある人なら、二階微分がそれほど直接的な概念ではないことを知っているでしょう。ニュートンが渋々確立し、約4%の精度で検証できた万有引力の法則は、1万分の1%以下の精度であることが証明され、絶対的な精度という概念と密接に結びついたため、物理学者たちが再びその精度の限界を大胆に探究するようになったのはごく最近のことです。10 確かに、何度も引用されるニュートンの法則の例は、数学者には単純に見える言葉で定式化された法則が、あらゆる合理的な期待を超えて正確であることが証明された記念碑的な例として、まず挙げられなければなりません。この例に関する我々の主張をもう一度簡単にまとめよう。第一に、この法則は、特に二階微分が登場する点において、数学者にとってのみ単純であり、常識や数学に疎い初学者にとっては単純ではない。第二に、これは非常に限定された範囲の条件付き法則である。ガリレオの岩石を引き寄せる地球や、月の軌道が円形であること、太陽系の惑星について何も説明していない。これらの初期条件の説明は地質学者と天文学者に委ねられており、彼らは苦労している。
10 例えば、RHディッケ著「アメリカン・サイエンティスト」第25巻、1959年を参照。
2番目の例は、通常の基本的な量子力学です。これは、マックス・ボルンが、ハイゼンベルクによって与えられた計算規則のいくつかが、はるか昔に数学者によって確立された行列の計算規則と形式的に同一であることに気づいたことに端を発します。ボルン、ジョーダン、ハイゼンベルクは、古典力学の方程式の位置変数と運動量変数を行列に置き換えることを提案しました[6]。彼らは行列力学の規則をいくつかの非常に理想化された問題に適用し、非常に満足のいく結果を得ました。しかし、当時は、彼らの行列力学がより現実的な条件下で正しいと証明される合理的な証拠はありませんでした。実際、彼らは「ここで提案された力学が、その本質的な特徴においてすでに正しいとすれば」と述べています。実際には、彼らの力学を現実的な問題、つまり水素原子の問題に初めて適用したのは、数か月後、パウリでした。この適用は経験と一致する結果をもたらしました。これは満足のいく結果ではあったが、ハイゼンベルクの計算規則が水素原子の古い理論を含む問題から抽象化されたものであるため、まだ理解できる。奇跡は、ハイゼンベルクの計算規則が意味をなさない問題に、行列力学、あるいは数学的に同等の理論を適用した場合にのみ起こった。ハイゼンベルクの規則は、古典的な運動方程式が特定の周期特性を持つ解を持つことを前提としていた。しかし、ヘリウム原子の2つの電子、あるいはより重い原子のさらに多くの電子の運動方程式は、これらの特性を持たないため、ハイゼンベルクの規則をこれらのケースに適用することはできない。とはいえ、数ヶ月前にコーネル大学の木下と標準局のバズリーによって行われたヘリウムの最低エネルギー準位の計算は、観測精度の範囲内、すなわち1000万分の1の範囲内で実験データと一致している。確かに、この場合、我々は方程式から「何かを得た」と言えるだろう。
「複素スペクトル」、すなわちより重い原子のスペクトルの質的特徴についても同様である。スペクトルの質的特徴が導かれた際、量子力学理論から導かれる規則と経験的研究によって確立された規則との不一致が、行列力学の枠組みを変える最後の機会となるだろうとジョーダンが私に語った会話を思い出したい。言い換えれば、ジョーダンは、ヘリウム原子の理論において予期せぬ不一致が生じた場合、少なくとも一時的には、我々は無力になるだろうと感じていた。これは当時、ケルナーとヒレラスによって発展させられていた。数学的形式主義はあまりにも明確で不変であったため、前述のヘリウムの奇跡が起こらなかったら、真の危機が生じたであろう。物理学は確かに、何らかの方法でその危機を克服したであろう。一方で、今日私たちが知っている物理学は、ヘリウム原子の奇跡のような奇跡が絶えず繰り返されなければ不可能であったことも事実です。ヘリウム原子の奇跡は、おそらく基礎量子力学の発展の過程で起こった最も驚くべき奇跡ですが、決して唯一の奇跡ではありません。実際、類似の奇跡の数は、私たちの見解では、より類似した奇跡を追い求める意欲によってのみ制限されます。それでもなお、量子力学は、ほぼ同等の驚くべき成功を数多く達成し、それが、いわゆる「正しい」という確固たる確信を与えてくれました。
最後の例は量子電気力学、すなわちラムシフトの理論である。ニュートンの重力理論は依然として経験と明白なつながりを持っていたが、経験はハイゼンベルクの処方の洗練、あるいは昇華された形でのみ行列力学の定式化に取り込まれた。ベーテによって構想され、シュウィンガーによって確立されたラムシフトの量子理論は純粋に数学的な理論であり、実験の唯一の直接的な貢献は測定可能な効果の存在を示すことであった。計算との一致は1000分の1よりも優れている。
前述の3つの例は、ほぼ無限に挙げることができるが、自然法則を、その操作性に基づいて選択された概念を用いて数学的に定式化することの適切さと正確さを示している。「自然法則」はほとんど驚異的な正確さを誇りながらも、その適用範囲は厳しく限定されている。これらの例が示す観察を、私は認識論の経験法則と呼ぶことにする。これは、物理理論の不変法則とともに、これらの理論にとって不可欠な基盤である。不変法則がなければ、物理理論は事実の根拠を与えられなかったであろう。もし認識論の経験法則が正しくなければ、私たちは「自然法則」をうまく探求するために不可欠な感情的な励ましと安心感を得られなかったであろう。私が認識論の経験法則について議論したRGSachs博士は、それを理論物理学者の信条と呼んだが、まさにその通りである。しかし、彼が私たちの信仰箇条と呼んだものは、実際の例によって十分に裏付けられており、言及した 3 つの例以外にも多くの例があります。
物理学理論の独自性。前述の観察の経験的性質は、私には自明であるように思われる。それは確かに「思考の必然性」ではなく、それを証明するために、それが無生物界に関する我々の知識のごく一部にしか当てはまらないという事実を指摘する必要はないはずだ。位置の二階微分に関する数学的に単純な式の存在が自明であると信じるのは、位置そのものや速度に関する同様の式が存在しないという不合理な考えである。それゆえ、認識論の経験法則に含まれる素晴らしい賜物が、いかに容易に当然のこととされてきたかは驚くべきことである。前述のように、人間の心が1000通りの結論を導き出し、なおかつ「正しい」ままでいられる能力も、同様の賜物である。
あらゆる経験法則には、その限界が分からないという不安を掻き立てる性質があります。私たちは、周囲の世界の出来事には、数学的概念を用いて驚くほど正確に定式化できる規則性があることを見てきました。一方で、正確な規則性の存在を信じられない世界の側面もあります。私たちはこれを初期条件と呼びます。ここで問題となるのは、様々な規則性、つまりこれから発見される様々な自然法則が、一つの一貫した単位へと融合するのか、あるいは少なくとも漸近的にそのような融合に近づくのかということです。あるいは、互いに全く共通点のない自然法則が常に存在する可能性もあります。現在、例えば遺伝法則や物理法則がこれに当てはまります。自然法則の中には、その含意において互いに矛盾するものもあるかもしれませんが、それぞれの法則がそれぞれの領域において十分に説得力を持つため、どれかを放棄する気にはなれない、という可能性さえあります。私たちはそのような状況に甘んじてしまうか、あるいは様々な理論間の対立を解明することへの関心が薄れてしまうかもしれません。自然の様々な側面に基づいて形成された小さな絵が、一つの単位へと一貫して融合した「究極の真実」への興味を失ってしまうかもしれません。
例を挙げて代替案を説明すると分かりやすいかもしれません。物理学には現在、非常に強力で興味深い2つの理論があります。量子現象の理論と相対性理論です。これら2つの理論は、互いに排他的な現象群に根ざしています。相対性理論は、星などのマクロな物体に適用されます。同時発生、つまり究極的には衝突の現象は、相対性理論における原始的な事象であり、時空における点を定義します。少なくとも、衝突する粒子が無限に小さい場合は、点を定義します。量子論はミクロな世界に根ざしており、その観点からすると、同時発生、つまり衝突は、たとえ空間的な広がりを持たない粒子間で起こったとしても、原始的なものではなく、時空において明確に孤立したものでもありません。2つの理論は、それぞれ4次元リーマン空間と無限次元ヒルベルト空間という異なる数学的概念に基づいています。これまでのところ、二つの理論は統合できていない。つまり、両方の理論を近似する数学的定式は存在しない。すべての物理学者は、二つの理論の統合は本質的に可能であり、いずれ実現するだろうと信じている。しかしながら、二つの理論の統合が見出せないと考えることも可能である。この例は、前述の統合と対立という二つの可能性を示している。どちらも考え得る。
最終的にどのような選択肢が期待できるかを知るために、私たちは実際よりも少しだけ無知なふりをし、実際に持っているよりも低い知識レベルに身を置くことができる。もし私たちがこの低い知性レベルで理論の融合を見出すことができれば、私たちの実際の知性レベルにおいても理論の融合を見出すことができると確信を持って期待できる。一方、もし私たちがいくらか低い知識レベルで互いに矛盾する理論に到達したとしても、対立する理論が永続する可能性も排除できない。知識と創意工夫のレベルは連続変数であり、この連続変数の比較的小さな変化が、到達可能な世界の像を矛盾から一貫性へと変化させることはまずない。11
11 この一節は、多大な躊躇の末に執筆された。筆者は、認識論的な議論においては、人間の知能水準が絶対的な尺度において特異な位置を占めるという理想化を放棄することが有益であると確信している。場合によっては、他の種の知能水準で達成可能な到達点について検討することさえ有益かもしれない。しかしながら、筆者は、本文中で示唆されている思考の方向性があまりにも簡潔であり、十分な批判的評価を受けていないため、信頼できるものではないことも認識している。
この観点から考えると、私たちが誤りだと知っている理論の中に、驚くほど正確な結果を与えるものがあるという事実は、不利な要因です。もし私たちの知識がもう少し少なければ、これらの「誤った」理論が説明する現象の集合は、これらの理論を「証明」するのに十分な大きさであるように思われるでしょう。しかしながら、これらの理論が「誤り」であると私たちがみなすのは、究極的には、より包括的な概念と両立しないからであり、もしそのような誤った理論が十分に多く発見されれば、それらは互いに矛盾することが判明するに違いありません。同様に、私たちにとって十分に多いと思われる数の数値的一致によって「証明」されたと私たちが考えている理論が、私たちの発見手段を超えた、より包括的な可能性のある理論と矛盾するがゆえに誤りである可能性もあるのです。もしこれが真実なら、理論の数がある一定数を超え、十分な数の現象群をカバーするようになると、理論間の衝突が必然的に生じることになる。前述の理論物理学者の信条とは対照的に、これは理論家にとっての悪夢である。
いくつか「誤った」理論の例を考えてみましょう。これらの理論は、その誤りゆえに、一連の現象を驚くほど正確に記述しています。ある程度の善意があれば、これらの例が提供する証拠のいくつかは却下できます。ボーアの初期の先駆的な原子論の成功は常に限定的なものであり、プトレマイオスの周転円についても同様です。現在の私たちの視点は、これらのより原始的な理論が記述できるすべての現象を正確に記述します。金属、半導体、絶縁体の多くの、あるいはほとんどすべての特性について驚くほど正確な描写を与える、いわゆる自由電子理論については、もはや同じことは当てはまりません。特に、この理論は、「真の理論」に基づいては決して正しく理解されなかった事実、すなわち絶縁体の電気に対する比抵抗が金属の10の6倍にもなるという事実を説明します。実際、自由電子理論が無限大の抵抗を予測する条件下において、抵抗が無限大ではないことを示す実験的証拠は存在しない。しかしながら、我々は自由電子理論が粗雑な近似であり、固体に関するあらゆる現象の記述において、より正確な概念に置き換えるべきだと確信している。
我々の実際の視点から見れば、自由電子理論が提示する状況は苛立たしいものではあるものの、我々にとって克服できないような矛盾を予感させるものではないだろう。自由電子理論は、理論と実験の数値的な一致を理論の正しさの証拠としてどれほど信頼すべきかという疑問を提起する。我々はこうした疑問には慣れている。
もしいつか、意識現象、あるいは生物学の理論が、無生物界に関する現在の理論と同じくらい首尾一貫していて説得力のあるものを確立できたとしたら、はるかに困難で混乱した状況が生じるでしょう。メンデルの遺伝の法則とその後の遺伝子に関する研究は、生物学に関する限り、そのような理論の始まりとなるかもしれません。さらに、そのような理論と物理学の一般的な原理との間に矛盾があることを示す抽象的な議論が見つかる可能性も十分にあります。その議論は非常に抽象的な性質のものとなり、どちらかの理論を支持するために実験によって矛盾を解決することが不可能になるかもしれません。そのような状況は、私たちの理論への信仰、そして私たちが形成する概念の現実性に対する信念に大きな負担をかけるでしょう。それは、私が「究極の真実」と呼ぶものを求める私たちの探求において、深い挫折感を与えるでしょう。そのような状況が考えられる理由は、根本的に、私たちの理論がなぜそれほどうまく機能するのかを私たちが知らないからです。したがって、理論の正確さが、その真実性と一貫性を証明するとは限らないのです。実際、現在の遺伝法則と物理法則に照らし合わせると、上で述べた状況に似たものが存在するというのが筆者の信念である。
最後に、より明るい話題で締めくくりたいと思います。物理法則を定式化するのに数学という言語が適切であるという奇跡は、私たちが理解することも、またそれに値することもない、素晴らしい賜物です。私たちはこの賜物に感謝し、それが将来の研究においても有効であり続けることを、そして、良くも悪くも、私たちを喜ばせ、そしておそらくは困惑させることさえも、幅広い学問の分野に広がっていくことを願うべきです。
筆者はここに、長年にわたり認識論の諸問題に関する筆者の思考に深い影響を与えたM.ポラニー博士、そして筆者の明快さの達成に大きく貢献したV.バーグマン氏への感謝の意を表したい。また、本稿を査読し、C.S.パースの論文に筆者の注意を向けさせてくれたA.シモニー氏にも深く感謝する。